State possible positive,negative, and imaginary zeros for f(x)=2x^10-3x^8+4x^6-x^4+3x^2-2

Question

Algebra II

Answer 1

f(x) = 2x¹⁰-3x⁸+4x⁶-x⁴+3x²-2

 

Since the coefficients of f(x) change sign 5 times, then by Descartes Rule of Signs, f(x) has 5, 3, or 1 positive roots

 

f(-x) = 2(-x)¹⁰-3(-x)⁸+4(-x)⁶-(-x)⁴+3(-x)²-2

 

       = 2x¹⁰-3x⁸+4x⁶-x⁴+3x²-2

 

Since the coefficients of f(-x) change sign 5 times, then by Descartes Rule of Signs, f(x) has 5, 3, or 1 negative roots.  

 

Since f(x) has degree 10, f(x) has 10 roots (including repetitions).

 

So, there are several possibilities

 

         Positive Roots             Negative Roots        Imaginary Roots

 

Case 1         5                                5                          0

Case 2         5                                3                          2

Case 3         5                                1                          4

Case 4         3                                5                          2

Case 5         3                                3                          4

Case 6         3                                1                          6

Case 7         1                                5                          4

Case 8         1                                3                          6

Case 9         1                                1                          8

 

 

Answer 2

rearrange it as 

2x^10 -X^4  + 4X^6 -2 -3X^8- 3X^2 =0

 

2X⁴(X⁶-1) -2 (X⁶  - 1 ) -3x²(X⁶ -1 ) = 0 

 

so X⁶ = 1  0r 2X⁴ -3x²  - 2 = 0

 

solving second part 2x² (X²  - 2 ) + 1 (X² -2 )  = 0 

X² =  2 or X^{2 =} 1/2 

 

Answer will be X = +/- 1 , +-sqrt(2) , +- sqrt(1/2)