Prove tan(a+b)

Question

Q 5 (a) prove that     tan(A+B) =    tan A+tan B
                                                   __________

                                                   1- tan A tan B  
     

(b) show that value of 75 degrees = 2+root3
     

(c) is hence or otherwise show tan(15 degrees) in surd form


I know how to do part a its only a proof but could you show me how to do (b) and (c) thanks

Answer 1

Prove : Tan ( A+ B ) = (Tan A + Tan B ) / ( 1 - Tan A Tan B) :

 

      Tan ( A + B ) = Sin ( A + B) / Cos ( A +B)

 

                               ( Sin A Cos B + Sin B Cos A ) / ( Cos A Co B - Sin A Sin B)  ( 1)

 

                                Divide both sides of equation ( 1) by Cos A . Cos  B

 

               ( Sin A Cos B + Sin B Cos A )/ (CosA Cos  B )  / right side of ( 1)

 

                         Tan A + Tan B ( i)

 

                   Cos A Cos B - Sin A Sin B / Cos A . Cos B =

                  

                      ( 1 - Tan A Tan B )  ( ii )

 

            Therefore:

   

          Tan ( A + B ) =  ( i) / ( ii )

 

                             = ( Tan A + Tan B )/ ( 1 - Tan A Tan B)

         

                      

  Tan ( 75) = (Tan 45° + Tan 30°) / ( 1 - Tan45°. Tan30°)

 

( 1 + √3 /3 ) /( 1 - √3/ 3) = 2 + √3

 

   Tan 15 = ( Tan 45° - Tan30° ) / (1 + √3/ 3 ) 

 

             = ( 1 - √3 / 3 )/ (1  + √3 /3 ) =

 

              =  ( 3 - √3 ) / ( 3 + √3 )   

                                    

               = 2 - √3

Answer 2

Hi Nick,

 

(a)   tan(A+B)=sin(A+B)/cos(A+B)

                     =sinAcosB+cosAsinB

                        cosAcosB-sinAsinB

 

divide the numerator and denominator by cosAcosB

 

                    =sinA/cosA+sinB/cosB

                         1-sinAsinB/cosAcosB

                    =tanA+tanB

                      1-tanAtanB

 

(b)   tan75=tan(30+45)

               =tan30+tan45

                 1-tan30tan45

 

               =1/√3+1

                 1-1/√3

 

               =(1+√3)/(√3-1)

 

multiply the numerator and denominator by √3+1

 

              =(1+√3)²/(√3)²-(1)²

 

              =(1+2√3+3)/(3-1)

 

              =(4+2√3)/2

              =2+√3

 

 

(c)  tan15=tan(60-45)

               =tan60-tan45

                 1+tan60tan45

 

               =(√3-1)/(1+√3)

 

multiply the numerator and denominator by 1-√3

 

  and √3-1=-(1-√3)

 

 

               =-(1-√3)²/(1)²-(√3)²

 

               =-(1-2√3+3)/-2

 

              =(4-2√3)/2

 

              =2-√3