Sabes como resolver ecuaciones diferenciales del tipo Cauchy-Euler

Answer 1

Primero, las ecuaciones diferenciales del Cauchy-Euler son ecuaciones lineales, homogéneos, y se clasifican como ecuaciones diferenciales ordinarias. En palabras matemáticas, las escribiríamos así:

(Avises que el y^{n} es el derivativo numero n de la función y):

Hay varias maneras de resolverlas. Voy a compartir la más común, pero debes repasar tu libro de clase o las lecturas de tu profesor para que entiendes requisitos específicos de tu clase.

Voy a explicar con el ejemplo: x^2 y'' + Ax y' + By = 0 (Trata a A y B como funciones o constantes, sus valores no cambian el proceso bajo).

1. Adivinar la forma de la solución:

Comenzamos por asumir que la solución tomará la forma y = x^m. Entonces, sabemos que y' = x^{m-1}, y'' = m(m-1) x^{m-2} ... . En general, x^k y^k = x^m m(m-1) ... (m-1+k).

En nuestro ejemplo, podemos calcular los derivativos y nos acabamos con:

x^2 [m(m-1) x^{m-2}] + Ax [m x^{m-1}] + Bx^m = 0

Voy a dirigir tu atención al hecho que los coeficientes de los x en el frente y al interior del expresión pueden ser añadido. Asumimos que el x^m nunca será 0 y podemos reescribir nuestra ecuación así:

m(m-1) + Am + B = 0

m^2 + (A-1)m + B = 0

Hemos muestro que existe una expresión polinómica de grado m por cada orden n ecuación del Euler-Cachy. Desde este punto, hay 3 casos: el caso de dos soluciones reales, una solución repetida, o dos soluciones complejas. Estoy seguro de que has visto estos casos en lugares diferentes en tu estudio de ecuaciones diferenciales. Para hacer cada terminó independiente lineal, múltiples con ln(x), (ln(x))^2, etc.

Otra estrategia de resolver estas ecuaciones que he visto es un cambio de variables, pero eso es demasiado difícil, y podemos garantizar que una ecuación Cauchy-Euler puede ser resuelto con la substitución por la forma de estas ecuaciones, entonces, yo no veo el valor de explorar esta manera más.

Disculpe, español no es mi idioma primero, pero espero que me puedas entender y hayas encontrado que mi explicación es valuable y divertida.