Como identificar ecuaciones diferenciales exactas y como resolverlas

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Las ecuaciones diferenciales exactas son un tipo de ecuación diferencial ordinaria de primer orden que se puede resolver de una manera específica, ya que su lado izquierdo es la diferencial total de alguna función.

¿Cómo identificar una Ecuación Diferencial Exacta?

Una ecuación diferencial se presenta en la forma general:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Para que esta ecuación sea exacta, debe cumplir una condición crucial: las derivadas parciales cruzadas de M y N deben ser iguales. Es decir:

∂y∂M​=∂x∂N​

Donde:

1. M(x,y) es el coeficiente del dx.
2. N(x,y) es el coeficiente del dy.

Explicación del criterio:

Si una ecuación diferencial es exacta, significa que existe una función F(x,y) (llamada función potencial o función primitiva) tal que su diferencial total dF es igual a la expresión M(x,y)dx+N(x,y)dy. Recordemos que la diferencial total de una función F(x,y) es: dF=∂x∂F​dx+∂y∂F​dy

Al comparar con M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, se deduce que: ∂x∂F​=M(x,y) ∂y∂F​=N(x,y)

Si las segundas derivadas parciales de F(x,y) son continuas (lo cual es común en los problemas de ecuaciones diferenciales), por el Teorema de Clairaut (o Teorema de Schwarz), se cumple que: ∂y∂x∂2F​=∂x∂y∂2F​

Sustituyendo las expresiones de M y N: ∂y∂​(∂x∂F​)=∂y∂M​ ∂x∂​(∂y∂F​)=∂x∂N​

Por lo tanto, la condición de exactitud ∂y∂M​=∂x∂N​ es la prueba de que existe tal función F(x,y).

¿Cómo resolver una Ecuación Diferencial Exacta?

Una vez que has verificado que la ecuación es exacta, los pasos para resolverla son los siguientes:

Paso 1: Verificar la exactitud. Asegúrate de que la ecuación esté en la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 y comprueba que ∂y∂M​=∂x∂N​. Si no se cumple, no es una ecuación exacta y debes buscar otro método de resolución.

Paso 2: Encontrar la función potencial F(x,y). Dado que sabemos que ∂x∂F​=M(x,y), podemos integrar M(x,y) con respecto a x (manteniendo y constante) para obtener F(x,y). Al hacer esto, la "constante de integración" será una función de y, ya que cualquier función de y (que no depende de x) se anula al derivar parcialmente con respecto a x. F(x,y)=∫M(x,y)dx+g(y) (Aquí, g(y) es la función arbitraria de y).

Paso 3: Determinar la función g(y). Ahora que tenemos una expresión parcial para F(x,y), sabemos que ∂y∂F​=N(x,y). Deriva la expresión obtenida en el Paso 2 con respecto a y (manteniendo x constante) e iguala el resultado a N(x,y). Esto te permitirá encontrar la derivada de g(y), es decir, g′(y). ∂y∂​(∫M(x,y)dx+g(y))=N(x,y) ∂y∂​(∫M(x,y)dx)+g′(y)=N(x,y) Despeja g′(y): g′(y)=N(x,y)−∂y∂​(∫M(x,y)dx) La expresión para g′(y) solo debe contener y (o ser una constante). Si contiene x, es un error en tus cálculos o la ecuación original no era exacta.

Paso 4: Integrar g′(y) para encontrar g(y). Integra la expresión para g′(y) con respecto a y para obtener g(y). No necesitas agregar una constante de integración aquí, ya que se agregará al final. g(y)=∫g′(y)dy

Paso 5: Escribir la solución general. Sustituye la función g(y) encontrada en el Paso 4 en la expresión de F(x,y) del Paso 2. La solución general de la ecuación diferencial exacta viene dada implícitamente por: F(x,y)=C donde C es una constante arbitraria.

Alternativa para el Paso 2 y 3:

Podrías comenzar integrando N(x,y) con respecto a y y luego derivando con respecto a x para encontrar una función de x, h(x). El proceso es simétrico:

1. F(x,y)=∫N(x,y)dy+h(x)
2. Derivar ∂x∂F​ e igualar a M(x,y) para encontrar h′(x).
3. Integrar h′(x) para encontrar h(x).

Elige la opción que parezca más sencilla de integrar o derivar.

Ejemplo Resuelto:

Consideremos la ecuación diferencial: (2xy+y2)dx+(x2+2xy−y)dy=0

Paso 1: Identificar M y N y verificar la exactitud. M(x,y)=2xy+y2 N(x,y)=x2+2xy−y

Calculamos las derivadas parciales cruzadas: ∂y∂M​=∂y∂​(2xy+y2)=2x+2y ∂x∂N​=∂x∂​(x2+2xy−y)=2x+2y

Dado que ∂y∂M​=∂x∂N​, la ecuación es exacta.

Paso 2: Encontrar la función potencial F(x,y). Integramos M(x,y) con respecto a x: F(x,y)=∫(2xy+y2)dx+g(y) F(x,y)=2y∫xdx+y2∫dx+g(y) F(x,y)=2y(2x2​)+y2x+g(y) F(x,y)=x2y+xy2+g(y)

Paso 3: Determinar la función g(y). Ahora, derivamos F(x,y) con respecto a y e igualamos a N(x,y): ∂y∂F​=∂y∂​(x2y+xy2+g(y))=x2+2xy+g′(y)

Igualamos esto a N(x,y): x2+2xy+g′(y)=x2+2xy−y

Restando x2+2xy de ambos lados: g′(y)=−y

Paso 4: Integrar g′(y) para encontrar g(y). g(y)=∫(−y)dy=−2y2​

Paso 5: Escribir la solución general. Sustituimos g(y) en la expresión para F(x,y): F(x,y)=x2y+xy2−2y2​

La solución general de la ecuación diferencial es F(x,y)=C: x2y+xy2−2y2​=C

Las ecuaciones diferenciales exactas son un concepto fundamental en el estudio de las ecuaciones diferenciales y tienen aplicaciones en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería.