verify that: cos^3(x)+sin^3(x)=1/2* (cos(x)+sin(x))*(2-sin(2x))

Question

 verify that: cos^3(x)+sin^3(x)=1/2* (cos(x)+sin(x))*(2-sin(2x))

 

 

 

Answer 1

An alternative:

 

cos³x + sin³x = (1/2)(cos x + sin x)(2 - sin 2x)

                     = (1/2)(cos x + sin x)(2 - 2sin x cos x)

                     = (cosx + sin x)(1 - sin x cos x)

                     = cos x + sin x - sin x cos²x - sin²x cos x

                     = cos x - sin²x cosx + sin x - sin x cos²x

                     = cos x(1 - sin²x) + sin x(1 - cos²x)

                     = cos x (cos²x) + sin x (sin²x)

                     = cos³x + sin³x

Answer 2

A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)

 

So, cos³x + sin³x = (cosx + sinx)(cos²x - cosxsinx + sin²x)

 

                               = (cosx + sinx)(1 - cosxsinx)

 

                               = (cosx + sinx)(1/2)(2 - 2cosxsinx)

 

                               = (1/2)(cosx + sinx)(2 - sin(2x))