CosA . Cos(π/3-A).cos(π/3+A)=1/4cos3A

Question

CosA . Cos(π/3-A).cos(π/3+A)=1/4cos3A

Prove it

Answer 1

cos(π/3 - A) = cos(π/3)cosA + sin(π/3)sinA = (1/2)cosA + (√3/2)sinA

 

Similarly, cos(π/3 + A) = (1/2)cosA - (√3/2)sinA

 

So, cosAcos(π/3-A)cos(π/3+A) = cosA[(1/4)cos²A - (3/4)sin²A]

 

                                             = cosA[(1/4)cos²A - (3/4)(1-cos²A)]

 

                                             = cosA[cos²A - 3/4]

 

                                             = (1/4)(4cos³A - 3cosA) = (1/4)cos(3A)

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NOTE:  cos(3A) = cos(2A+A) = cos(2A)cosA - sin(2A)sinA

 

                                           = (2cos²A-1)cosA - 2sinAcosAsinA

 

                                           = 2cos³A-cosA - 2sin²AcosA

 

                                           = 2cos³A - cosA - 2(1-cos²A)cosA

 

                                           = 4cos³A - 3cosA