Math Problem in Spanish

Question

Una tienda ha estado vendiendo 200 reproductores de Blu-ray por semana a $350 cada uno. Un estudio de mercado indica que por cada $10 de descuento ofrecido a los compradores, el número de unidades vendidas se incrementará a 20 a la semana. Encuentre la función demanda y la función ingreso. ¿Qué tan grande debe ser el descuento que ofrezca la tienda para maximizar sus ingresos?

Answer 1

Hola, Lorena

Antes de hacer las matemáticas para este problema, hay que establecer lo que ya sabemos.

1. La tienda ya vende 200 reproductores de Blu-ray por semana
2. Cada reproductor de Blu-ray cuesta $350
3. El numero de reproductores vendidas se aumentará 20 por cada discuento
4. El precio de cade reproductor va a disminuir 10 para cada discuento

Entonces, podemos expresar esta información en dos expresiones.

1. El precio de reproductores de Blu-ray es $350 menos $10 por cada discuento: P(d) = 350-10d
2. El número de ventas es 200 más 20 por cada discuento: S(d) = 200+20d

Para encontrar el ingreso de vender estas reproductores de Blu-ray con discuento, hay que multiplicar el número de ventas por su precio: S(d)*P(d)

1. (350-10d)*(200+20d) = 70,000-2000d +7000d-200d²
2. Lo cual podemos simplificar a: I(d) = 70,000 + 5000d - 200d².

Con esta función, podemos decir qué tan grande discuento la tienda debe ofrecer para maximizar sus ingresos, y lo hacemos por identificar la máxima de esta funcion.

Hay que recordar que, cuando una función llega a una de sus máximas o mínimas, que el tangente de la función en ese punto es horizontal, osea, el primer derivativo de la función en ese punto se diminue a cero. Entonces, vamos a tomar el derivativo de nuestra función I(d):

1. (d/dd)(I(d) = d/dd (70,000 + 5000d - 200d²) y este es simplamente un problema de aplicar la regla de poderes para derivación: d/dx (f(x)ⁿ) = n(f(x)^n-1)
2. d/dd (70,000 + 5000d - 200d²) = (70,000)*(0) +(5000)*(1)(d⁰) - (200)(2)(d¹)
3. lo cual simplificamos a: 5000 - 400d

Bueno, ahora tenemos el derivativo de la función, pero necesitamos identificar la estimación de (d) que hace que el derivativo sea cero.

1. Entonces, 5000 - 400d = 0
2. Aǹademos 400d a los dos lados: 5000 - 400d +400d = 0 + 400d
3. O más simplemente: 5000 = 400d
4. Y, vamos a dividir los dos lados por 400 para aislar d: 5000/400 = 400d/400
5. Lo cual es: 12.5 = d

Okay, sabiendo eso, vamos a sustituir ese resultado en las funciónes que escribimos en el principio.

1. P(d) = 350-10d
2. P(12.5) = 350 - 10(12.5) = 350 - 125 = 225, que significa que la tienda debe ofrecer un discuento de $125 y vender las reproductores de Blu-ray al precio de $225.

Según el estudio de mercado, el número de ventas se aumentará a:

1. S(12.5) = 200 + 20(12.5) = 200 + 250 = 450

sus Ingresos deben aumentarse del $70,000/semana originalmente, a:

1. I(12.5) = 70000 + 5000(12.5) - 200(12.5²) = 70000 + 62500 -31250 = $101,150
2. O, más simplement: I(12.5) = S(12.5)*P(12.5) = 450*225 = $101,250

Espero que le ayude.

Sinceramente,

Daniel