How many integers between 1 and 6,000, including both 1 and 6,000, are divisible by 4, 5 or 6?

Answer 1

ALL:                                                               A + B + C + D + E+ F + G + H     =    6000    [eq1]

Divisible by 4 :                                             A + B        + D + E                       =  1500    [eq2]

Divisible by 5 :                                                    B + C + D       + F                 =   1200    [eq3]

Divisible by 6 :                                                                 D + E + F + G          =   1000    [eq4]

Divisible by 4 and  5 (that is, by 20):               B       + D                             =    300    [eq5]

Divisible by 4 and 6 (that is, by 12):                             D + E                      =     500    [eq6]

Divisible by 5 and 6 (that is, by 30):                             D      + F                 =     200    [eq7]

Divisible by 4 and 5 and 6 (that is, by 60):                  D                            =     100    [eq8]

D = 100

[eq7] – [eq8] = F = 100     [eq9]

[eq6] – [eq8] = E = 400     [eq10]

[eq5] - [eq8] = B = 200      [eq11]

[eq4] – [eq8] – [eq10] – [eq9] = G = 400  [eq12]

[eq2] – [eq11] – [eq8] – [eq10] = A = 800   [eq13]

[eq3] – [eq11] – [eq8] – [eq9] = C = 800  [eq14]

ALL    -       A     -      B      -      C       -     D     -      E      -     F     -       G     =  H

[eq1] – [eq13] – [eq11] – [eq14] – [eq8] – [eq10] – [eq9] – [eq12] = H 

6000  -   800    -    200    -     800    -    100   -    400   -   100   -   400   =   H  =  3200

“divisible by 4, 5 or 6?”  =  A+B+C+D+E+F+G = 2800

Answer 2

Divisible by 4: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88,92,96,100

Divisible by 5: 5,10,15,25,30,35,45,50,55,65,70,75,85,90,95

Divisible by 6: 6,18,42,54,66,78

46 of them per hundred

60 such hundreds

46*60=2760