Prove the identity

Question

Cos⁴x= 1/8 (3 + 4cos2x +cos4x)

Answer 1

cos(2x) = 2cos²x - 1  (double angle identity)

 

cos(4x) = cos[2(2x)] = 2cos²(2x) - 1

 

                                = 2[2cos²x - 1]² - 1

 

                                = 2[4cos⁴x - 4cos²x + 1] - 1

 

                                = 8cos⁴x - 8cos²x + 1

 

So, 1/8(3 + 4cos(2x) + cos(4x))

 

    = 1/8[3 + 4(2cos²x - 1) + (8cos⁴x - 8cos²x + 1)]

 

    = 1/8[3 + 8cos²x - 4 + 8cos⁴x - 8cos²x + 1]

 

    = 1/8(8cos⁴x) = cos⁴x