define a binary operation on Z which is neither addition nor subtraction nor multiplication

Question

define a binary operation on Z which is neither addition nor subtraction nor multiplication.

Answer 1

 

 Logical OR and  Logical AND  on 8-bit integers 

 

The operations are defined as:

       1 or 1 = 1

       0 or 1 = 1

       1 or 0 = 1

       0 or 0 = 0

 

 

and

 

      0 and 0 = 0

      0 and 1 = 0

      1 and 0 = 0

       1 and 1 =0

 

The concise definition is:   A or B is 1 if EITHER A or B is 1 (or both); zero otherwise

 

                                      a AND b is 0 if either A or B is 0 (or both); one otherwise

     

 

 

 

EX.   X = 12 = 00001100   and

         Y = -5  = 10000101 <--- sign but set

 

  X or Y = 12 or -5 = 10001101 = - 13

 

  x AND y =12 and -5 =  00000100 = 4

 

Properties of closure, associative, identity, and inverse must hold for them to be groups.

Barring a small technicality, these operators form an ABELIAN group.

 I have included a "PROOF" in the document AND OR ABELINAN GROUP .txt, as the proof

 is too long to post here because there are truth tables involved for the associative property.

 

HAPPY READING

                 X      Y      Z        (X or Y)        (X or Y) or Z       Y or Z      X or (Y or Z)

 

                 0       0     0             0                   0                     0                0

                 0       0     1             0                   1                      1               1

                 0       1     0             1                   1                      1               1

                 0       1     1             1                   1                      1                1

                 1       0     0             1                    1                     1                1

                 1       0     1             1                   1                      1                1

                 1       1     0              1                  1                      1                1

                 1       1     1              1                  1                      1                1