Solving equations

Question

f(x)=-x^2 + 3x + 2 g(x) sqrt(x-2),

f.g(x), g.f(x) g.g(-2)

Answer 1

Given:     f(x) = -x² + 3x + 2          and          g(x) = √(x - 2)

(i) fοg(x) = f(g(x)) = f(√(x - 2))      

           replace every x in f with new input which is √(x - 2)

    f(√(x - 2)) = -(√(x - 2))²  +  3(√(x - 2))  +  2

                   = -(x - 2)  +  3(√(x - 2))  +  2

                   = -x  +  2  +  3√(x - 2)  +  2

                   = 3√(x - 2)  -  x  +  4

(ii)   gοf(x) = g(f(x)) = g(-x² + 3x + 2)     

             replace every x in g with new input which is -x²+3x+ 2

       g(-x² + 3x + 2) = √((-x² + 3x + 2) - 2)

                              = √(-x² + 3x + 2 - 2)

                              = √(-x² + 3x)

(iii)   gοg(-2) = g(g(-2))          

          first solve for g(-2); that is, solve for g(x) when x= -2

              ==>  g(-2) = √(-2 - 2) = √(-4) = √(4)√(-1) = 2i

        g(g(-2)) = g(2i) 

                    = √(2i - 2)