a,b,c belongs to (0,45') such that 1/2 (1-tana)(1-tanb)(1-tanc)=1-(tana+tanb+tanc) then the value of tan (a+b+c)=?

Question

This question is of trigonometry function

Answer 1

  Left side is:

 

   1/2 [    ( 1 - tan A - tan B + tan A tan B) (1 - tan C) ] =

 

  1/2  [    1 - tan A - tan B + tan A tan B - tan C + tan A tan C + tan B tan C - tan A tan B tan C ) ] =

 

1/2 [  1 - tan A - tan B - tan C + tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C - tan A tan B tan C ]

 

which is equal to 1 - tan A - tan B - tan C  on the right side

 

moving the single tangent terms to the right side :

 

 1/2 [ tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C - tan A tan B tan C] = 1/2 [ 1 - tan A - tan B - tan C]

 

1/2 cancels, so then....

 

tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C - tan A tan B tan C = 1 - tan A - tan B - tan C

 

NEXT....

 

tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C = 1 - tan A - tan B - tan C + tan A tan B tan C

 

 

BUT, the triple angle tangent identity is:

 

tan (A+B+C ) =  [tan A + tan B + tan C - tan A tan B tan C ]/(1 - tan A tan B + tan A tanC + tanB tan C)

 

 

Substituting the equation in bold above into the denominator of the triple angle tangent identity

produces a result of 1