complex numbers

Question

Evaluate the expression (square root of -9)/(square root of -1 and square root of -3) and write the result in the form of (a+bi)

Answer 1

In the denominator, What does the AND mean? Add or multiply?

 

If it means multiply, then we have:

 

  Recall that sqrt(A)*sqrt(B) = sqrt(AB) and sqrt(A)/sqrt(B) = sqrt(A/B) by properties of fractional exponents

 

  sqrt(-9)/(sqrt(-1)*sqrt(-3)) = sqrt(   (-9)/(-1*-3)) = sqrt( -9/3) = sqrt(-3) = i*Sqrt(3) = 0 + i*sqrt(3)

 

                                                                                                                      [ a = 0   ,  b = sqrt(3) ]

 

 

If it means ADD, then we have to rationalize the denominator:

 

sqrt(9)/ ( sqrt(-1) + sqrt(-3)) =   3/( i + i*sqrt(3)) = 3/ (  i * (1 +sqrt(3)))

 

will write it like this:

 

                       3                              3i

               -------------------- =      -------------------------  <--- multiplies top and bottom by i/i  

                  i (1 + sqrt(3) )            (-1) ( 1 + sqrt(3))

 

                                     

                                                          -3i

                                           =      ----------------   <---- moves the -1 up to the top

                                                       1 + sqrt(3)

 

                                     

rationalizes the denominator by multiplying the top abd bottom by 1 + sqrt(3).

In the denominator the cross terms cancel:

 

                                                      -3i ( 1 - sqrt(3) )

                                                 ---------------------------- 

                                                        1 - 3      

 

                              = 3/2i ( 1 - sqrt(3))