Which convergence test???

Question

Which convergence test(s) would you use to determine the convergence of the series below?

 

∑_(i=0)^∞  (i+3)/i!

Answer 1

Hi Daniel,

 

∞

∑(i + 3)/i!   

i=0

This is a factorial series the convergent test(s) to use for determining the convergence of the series is the ratio test

a= (i + 3)/i!

 

                            

                             

                                                                                                                                              

lim     a_i+1/ a_i  = lim  [ ((i +1)+3)/ (i + 1)! ]/[(i + 3)/ i! ] = lim [(i +4)/ (i +1)!][ i!/(i + 3)] = lim [(i + 4)/ (i +1)(i + 3)] i-->∞                i-->∞                                                     i-->∞                                        i-->∞ 

              

                                                                                                                                           

lim [(i +4)/(i² + 4i + 3)] = lim [(1 +4/i)/(i+ 4+3/i)] = [ (1+0)/ (∞ + 4+0)]----> 0                                                     i --->∞                             i --->∞                            

                                           

 

                                                                                          ∞
Since the limiting ratio of the series is less than 1,  the series  ∑(i + 3)/i!  converges. 
                                                                                          i=0            

                 (i +4)
                 (i +4)