A linear algebra question, please help!

Question

Given the matrix A and the vector b below, define the transformation T : R3 → R3 by T (x) = Ax. Determine whether or not b is in the range of T. If so, find a vector x such that T(x) = b.

      1   -3   0         18

A= -4   0    2  b=  -10

      1   -5  4          32

Answer 1

Let's use row reduction.

 

[A | b] =

 

⌈ 1  -3   0  |  18  ⌉

|-4   0   2  | -10 |

⌊ 1  -5   4  |  32  ⌋

 

R₂ ← R₂ + 4R₁

R₃ ← R₃ - R₁

 

⌈ 1  -3   0 | 18 ⌉
| 0 -12  2 | 62 |
⌊ 0  -2   4 | 14 ⌋

 

R₁ ← 2R₁

R₂ ← R₂/2

R₃ ← 3R₃

 

⌈ 2  -6   0  | 36 ⌉
| 0  -6   1  | 31 |
⌊ 0  -6  12 | 42 ⌋

 

R₁ ← R₁ - R₂
R₃ ← R₃ - R₂

 

⌈ 2   0   -1 |   5  ⌉
| 0  -6    1 |  31 |
⌊ 0   0   11 |  11 ⌋

R₃ ← R₃/11

 

⌈ 2   0   -1 |   5   ⌉
| 0   6   -1 | -31 |
⌊ 0   0    1 |   1   ⌋

 

R₁ ← R₁ + R₃
R₂ ← R₂ + R₃

 

⌈ 2   0   0 |   6   ⌉
| 0   6   0 | -30 |
⌊ 0   0   1 |   1   ⌋

 

R₁ ← R₁/2

R₂ ← R₂/3

 

⌈ 1   0   0 |  3  ⌉
| 0   1   0 | -5 |
⌊ 0   0   1 |  1  ⌋

 

So b is the image of the vector

 

⌈   3 ⌉

| -5 |

⌊  1  ⌋