What's the 300th term?

Question

Each term in a sequence of numbers is greater than the term before it and the difference between any 2 consecutive terms is constant. If the 15th and 20th terms in the sequence are 6 and 16 respectively, what's the 300th term?

Answer 1

An Arithmetic Sequence has a value, d, called the Common Difference between consecutive terms.

 

So, we may determine any term using a formula:

    T_n = T₁ + (n-1)d             [where n is the number of the term, starting with 1, and d is the Common Difference]

 

For example, the sequence 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..has T₁=1 and d=2, so

    T₅ = 1 + (5-1)2

    T₅ = 9

 

For this problem,

   "greater than the term before it"  means d is positive

   "difference between any 2 consecutive terms is constant"  means this is an Arithmetic Sequence

 

  "15th term is 6"   means    T₁₅ = T₁ + (15-1)d = 6      [eq1]

 

  "20th term is 16"  means    T₂₀ = T₁ + (20-1)d = 16      [eq2]

 

"What's the 300th term?"

     T₃₀₀ = T₁ + (300-1)d              [So, what's d and T₁?]

 

Subtract eq1 from eq2 to determine d:

      T1 + (20-1)d = 16

      T1 + (15-1)d = 6

  ------------------------- 

                 5d     = 10

                  d = 2          [divide both sides by 5]

 

  Then, solve for T₁ using either eq1 or eq2:

             T₁ + (15-1)d = 6

              T₁ + (14)(2) = 6

                 T₁ = -22

 

So,

    T₃₀₀ = T₁ + (300-1)d

    T₃₀₀ = -22 + 299(2)

    T₃₀₀ = 576

 

To check, the sequence is:

         -22   -20    -18    -16   -14    -12   -10     -8     -6

   -4     -2      0       2       4      6       8     10    12     14

   16    18    20     22     24     26     28     30    32     34
   36    38    40     42     44     46     48     50    52     54

   56    58    60     62     64     66     68     70    72     74
   76    78    80     82     84     86     88     90    92     94
   96    98   100   102   104   106   108   110   112   114
 116  118   120   122   124   126   128   130   132   134
136   138   140   142   144   146   148   150   152   154
156   158   160   162   164   166   168   170   172   174

 

176   178   180   182   184   186   188   190   192   194
196   198   200   202   204   206   208   210   212   214
216   218   220   222   224   226   228   230   232   234
236   238   240   242   244   246   248   250   252   254
256   258   260   262   264   266   268   270   272   274
276   278   280   282   284   286   288   290   292   294
296   298   300   302   304   306   308   310   312   314
316   318   320   322   324   326   328   330   332   334
336   338   340   342   344   346   348   350   352   354
356   358   360   362   364   366   368   370   372   374

 

376   378   380   382   384   386   388   390   392   394
396   398   400   402   404   406   408   410   412   414
416   418   420   422   424   426   428   430   432   434
436   438   440   442   444   446   448   450   452   454
456   458   460   462   464   466   468   470   472   474
476   478   480   482   484   486   488   490   492   494
496   498   500   502   504   506   508   510   512   514
516   518   520   522   524   526   528   530   532   534
536   538   540   542   544   546   548   550   552   554
556   558   560   562   564   566   568   570   572   574

 

576