find the length of the curve over the interval [1,3] f(x)=(1/12)x^3 +x^-1

Question

find the length of the curve over the interval [1,3] f(x)=(1/12)x^3 +x^-1

Answer 1

To find the arc length, we have to integrate √[1 + (f'(x))²] from 1 to 3.

 

1 + (f'(x))² = 1 + (¼x² - x^-2)² = 1 + (1/16)x⁴ - 1/2 + x^-4

 

                                                                     = (1/16)x⁴ + 1/2 + 1/x⁴

 

                                                                     = [x⁸ + 8x⁴ + 16]/(16x⁴)

 

                                                        = (x⁴+ 4)²/(16x⁴)

 

So, √ [1 + (f'(x))²] = (x⁴ + 4)/(4x²) = (1/4)x² + x^-2

 

Integrate and evaluate from 1 to 3:

 

    [(1/12)(3)³ - 1/3] - [1/12 -1]  = 9/4 - 1/3 - 1/12 + 1 

 

                                                         = 27/12 - 4/12 - 1/12 + 12/12

 

                                                         = 34/12 = 17/6    

 

  

Answer 2

Using the formula for arc length, I get 34/12