Help Me Please

Question

The curve y=x^2-3x-4 cuts the x axis at A and B. The tangents to the curve at A and B meet at T and the normals to the curve at A and B meet at N. Find the area of the quadrilateral ATBN.

Answer 1

y = x²-3x-4 = (x-4)(x+1) = 0   x = -1 or x = 4

 

Let A = (-1,0) and B = (4,0)

 

y' = 2x-3     Slope of tangent at A = 2(-1)-3 = -5

                     Slope of tangent at B = 2(4)-3 = 5

 

Equation of tangent line at A:  y - 0 = -5(x + 1)      y = -5x -5

Equation of tangent line at B: y - 0 = 5(x - 4)         y = 5x - 20

 

The tangent lines intersect when -5x-5 = 5x-20

                                                              -10x = -15

                                                                    x = 1.5                                  

                                                         and y = -5(1.5)-5

                                                                   = -12.5

So, T = (1.5, -12.5)

 

Equation of normal line at A:  y - 0=(1/5)(x + 1)   y = (1/5)x + 1/5

Equation of normal line at B: y - 0 =(-1/5)(x - 4)  y = (-1/5)x + 4/5

 

The normal lines intersect when (1/5)x+1/5 = (-1/5)x + 4/5

                                                       (2/5)x = 3/5

                                                                            x = 1.5

                                                                    and y = (-1/5)(1.5) + 4/5

                                                                              =  0.5

So, N = (1.5, 0.5)

 

Area of quadrilateral ATBN = Area of ΔABT + Area of ΔABN

                                                = ½(5)(12.5) + ½(5)(0.5)

                                                = 32.5