cos2(x)-cos6(x)=0

Question

find the solutions of the equation in the interval [0, 2pi)

Answer 1

---------null---------

Answer 2

Use Euler:

 

(e^i2x)    -   (e^i6x)   =   0

(e^ix)^2  -   (e^ix)^6  =   0

Let e^ix  =  w

w^2  -  w^6   =  0

w^2(1  -  w^4)  =  0

w^2(1  -  w)(1  +  w)(1  -  iw)(1  +  iw)  =  0

w  =  -1, +1, -i, +i, so x = pi, 0, -pi/2, +pi/2.

There are two more solutions, w^2  =  0

(e^ix)^2  =  0  =  (cos x  +  i  sin x)^2

cos x  =  -  i  sin x

1  =  -i  (sin x / cos x)  =  -i  tan x  =>  i  =  tan x, =>  x  =  pi/4  

(e^i((pi/4) +  2n(pi)))^2  =  0

e^i((pi)/8  +  n(pi))  =  0,   x =  pi/8  +  n(pi), n= 0,1  =>    x =  pi/8, 9(pi)/8