The sum of two numbers is twenty and the sum of their squares is less than 362. find all the integers.

Question

This is a Mathematical problem solving in high school

Answer 1

Well, there is the old grade school addition table:

 

       0    1    2    3    4    5     6    7     8    9    10    11    12    13    14    15    16    17    18    19    20

0     0    1    2    3    4    5     6    7     8    9    10    11    12    13    14    15    16    17    18    19    20

1     1    2    3    4    5    6     7    8     9   10   11    12    13    14    15    16    17    18    19    20    21

2     2    3    4    5    6    7     8    9   10   11   12    13    14    15    16    17    18    19    20    21    22

3     2    4    5    6    7    8     9   10   11  12   13    14    15    16    17    18    19    20    21    22    23

4     4    5    6    7    8    9    10  11   12   13   ...

    O.K., we get the idea.  Now, let's look at the sum of the squares:

 

   0     1    2   3      4     5      6      7      8      9       10      11     12      13       14     15      16      17      18      19       20

   0   0     1    4    9    16    25    36    49    64    81    100    121    144    169     196    225    256    289    324    361     400
   1   1     2    5   10   17    26     37   50    65    82     101   122    145    170     197    226    257    290    325    362   
   2   4     5    8    13   20   29    40    53    68    85    104    125    148    173     200    229    260    293    328    365   
   3   9   10   13   18    25   34    45    58    73    90    109    130    153    178     205    234    265    298    333    370  
   4   16  17   20   25    32    41   52    65    80    97    116    137     160    185    212    241    272   305    340    377   
   5  25  26   29   34    41    50   61    74    89   106   125    146    169     194    221    250    281    314    349    386
   6  36  37   40   45    52    61    72   85   100   117   136   157    180    205     232    261    292    325    360    397
   7  49  50   53   58    65    74   85    98   113   130   149   170    193    218     245    274    305    338    373   
   8  64  65   68   73    80    89  100  113   128   145  164   185     208    233    260    289    320    353   388
   9  8   82   85   90    97  106  117  130   145   162  181   202     225    250    277    306    337    370  
 10 100 101  104 109 116  125  136  149   164   181  200   221    244    269     296    325    356    389
 11 121 122  125 130 137 146 157  170   185    202   221   242    265    290    317     346    377  
 12 144 145  148 153 160 169 180  193   208    225   244   265    288    313    340     369  
 13 169 170  173 178 185 194 205  218   233    250   269   290    313    338    365   
14  196 197  200 205 212 221 232  245  260     277   296    317   340    365   
15  225 226 229 234 241 250 261  274    289    306   325   346    369  
 16 256 257 260 265 272 281 292  305   320     337   356   377  
17  289 290 293 298 305 314 325  338    353    370   
18  324 325 328 333 340 349 360 373    
19  361 362 365
20  

 

NOw, you must decide whether to inclue pairs with 0 as one number.

 

Note:  With a computer, this is two nested loops, so I did not type all of these numbers.

Answer 2

there are two ways I know of to go about this:

 

1) x + y = 20

 

x² + y² < 362

 

x² + (20 - x)² < 362

 

x² + 400 - 40x + x² < 362

 

2x² - 40x < -38

 

x² - 20 x < -19

 

complete the square

 

(x - 10)² < -19 + 100

 

(x - 10)² < 81

 

x - 10 < 9    

 

x < 19 

 

Any of these will work:

 

2, 18

3, 17

4, 16

5, 15

6, 14

7, 13

8, 12

9, 11

10. 10

 

2) Trial and Error

 

1 and 19 adds to 20. The sum of their squares is exactly 362 which is too much.

 

All other combinations of positive integers would work.